一、【相关概念】

 

1、方    程：含           的等式叫做方程 ^[1].

 

2、方程的解：使方程的等号左右两边相等的                ，就是方程的解^[2]。

 

3、解 方 程：求         的过程叫做解方程。

 

4、一元一次方程^[3]

 

只含有一个未知数（元），未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

 

[1]由方程的定义可知，方程必须满足两个条件：一要是等式，二要含有未知数〖见基础练习1〗。

 

[2]方程的解的个数随方程的不同而有多有少〖见基础练习2〗，但一个一元一次方程有且只有一个解。

 

[3] 一元一次方程的一般形式：ax+b=0（a、b为常数，且a≠0，即末知数的系数一定不能为0）〖见基础练习2、5〗。

 

一元一次方程，一定是整式方程（也就是说：等号两边的式子都是整式）。如：3x－5=6x，其左边是一次二项式（多项式）3x－5，而右边是单项式6x。

 

所以只要分母中含有未知数的方程一定不是整式方程（也就不可能是一元一次方程了），如〖基础练习3〗。

 

[基础练习]

 

1☆选项中是方程的是（   ）

 

A.3+2=5   B. a-1>2  C. a²＋b²－5 D. a²+2a-3=5

 

2☆下列各数是方程a²+a+3=5的解的是（   ） 

 

A.2   B. -2  C.1  D. 1和-2

 

3☆下列方程是一元一次方程的是（  ）

 

A.+1=5     B. 3(m-1)-1=2     C. x-y=6    D.都不是

 

4★若x=4是方程=4的解，则a等于（    ） A. 0    B.      C.-3     D.-2

 

5★★已知关于x的一元一次方程ax－bx=m有解，则有（  ）A. a≠b B.a>b C.a<b  D.以上都对

 

二、【方程变形——解方程的重要依据】

 

1、▲等式的基本性质（P_83～84页）

 

·等式的性质1：等式的两边同时加（或减）        （      ），结果仍相等。即：如果a=b，那么a±c=b    。

 

·等式的性质2：等式的两边同时乘         ，或除以               数，结果仍相等。即：如果a=b，那么ac =bc；或  如果a=b（     ），那么a/c =b/c

 

[＃  注：等式的性质（补充）：            等式的两边，

 

结果仍相等。

 

即：如果a=b，那么b=a   ＃]

 

2、△分数的基本的性质^[4]

 

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的值不变。

 

即：==（其中m≠0）

 

[4]▲分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数，如下面的方程：

 

－=1.6

 

将上方程化为下面的形式后，更可用习惯的方法解了。

 

－=1.6

 

注意：方程的右边没有变化，这要和“去分母”区别。

 

[基础练习]

 

1☆ 利用等式的性质解方程：2x+13=12

 

    第一步：在等式的两边同时               ，

 

    第二步：在等式的两边同时               ，

 

    解得：x=     

 

2★ 下列变形中，正确的是（   ）

 

 

3★★解方程：

 

三、【解一元一次方程的一般步骤】图示

步骤	名 称	方   法	依  据	注 意 事 项
1	去分母	在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数）	等式性质2	1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来。
2	去括号	去括号法则（可先分配再去括号）	乘法分配律	注意正确的去掉括号前带负数的括号
3	移项	把未知项移到议程的一边（左边），常数项移到另一边（右边）	等式性质1	移项一定要改变符号
4	合并 同类项	分别将未知项的系数相加、常数项相加	1、整式的加减；   2、有理数的加法法则	单独的一个未知数的系数为“±1”
5	系数化为“1”	在方程两边同时除以未知数的系数（方程两边同时乘以未知数系数的倒数）	等式性质2	不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母）
*6	检根   x=a	方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果。      ①　若 左边＝右边，则x=a是方程的解；   ②　若 左边≠右边，则x=a不是方程的解。   注：当题目要求时，此步骤必须表达出来。

说明：

 

1、上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说解每一个方程都必须经过五个步骤；

 

2、解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法；

 

3、对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解。

 

[基础练习]解下列方程

 

(1)               (2)              (3)

 

(4)               (5)        （6）4m＋3－3m=0

 

（7）y－=3－        （8）4q－3(20－q）=6q－7(9－q）

 

四、【一元一次方程的应用】

 

方程，在解决问题中有着重要的作用，下面就举例说明：

 

▲依据题目中的信息将问题转化为解方程的问题

 

〖想想算算填填

 

(1)若         。 

 

（2）若是同类项，则m=    ，n=       。

 

（3）若的和为0，则m-n+3p =          。

 

（4）代数式x+6与3(x+2)的值互为相反数，则x的值为           。

 

（5）若与 互为倒数，则x=     。

 

▲一元一次方程与应用问题及实际问题

 

初中阶段几个主要的运用问题及其数量关系

 

1、行程问题

 

·基本量及关系：路程=速度×时间  

 

   时间=

 

[典型问题]

 

·相遇问题中的相等关系：

 

一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离

 

·追及问题中的相等关系：

 

追及者的行程－被追者的行程=相距的路程

 

·顺（逆）风（水）行驶问题 

 

顺速=V_静＋风（水）速

 

逆速=V_静－风（水）速

 

2、销售问题

 

·基 本 量：

 

成本（进价）、售价（实售价）、

 

利润（亏损额）、利润率（亏损率）

 

 

·基本关系：

 

利润=售价－成本、亏损额=成本－售价、

 

利润=成本×利润率   亏损额=成本×亏损率

 

 3、工程问题

 

·基本量及关系：

 

工作总量=工作效率×工作时间

 

 

4、分配型问题

 

   此问题中一般存在不变量，而不变量

 

正是列方程必不可少的一种相等关系。

 

 

 

列方程解答

 

1、一架飞机在两城之间飞行，顺风需要4小时，逆风需要4.5小时；测得风速为45千米/时，求两城之间的距离。

 

2、某商店开张为吸引顾客，所有商品一律按八折优惠出售，已知某种旅游鞋每双进价为60元，八折出售后，商家所获利润率为40%。问这种鞋的标价是多少元？优惠价是多少？

 

3、某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐，共售出1000张门票，已知成人票每张8元，学生票每张5元，共得票款6950元，成人票和学生票各几张？

 

4、甲、乙两个水池共蓄水50t,甲池用去5t，乙池又注入8t后，甲池的水比乙池的水少3t，问原来

 

甲、乙两个水池各有多少吨水？

 

5、今年哥俩的岁数加起来是55岁。曾经有一年，哥哥的岁数与今年弟弟的岁数相同，那时哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的两倍.哥哥今年几岁？

 

 

解：设某一年弟弟x岁，依题意得

 

     方程                         

 

       解得  x=         

 

  所以哥哥今年的岁数是