关于怎样上好初中数学课其实是一个非常难的话题，不同的人有不同的认识。其根源在于不同的人对“好课”的认识不同，有时甚至差别很大。于是讨论怎样上好初中数学课，前提是讨论什么样的课是好课？或者好课的标准是什么？

 

    关于什么样的课是好课的讨论，常见于各种场合，但往往都很片面。原因是，多数人列举的要么是好课的充分条件，要么是好课的必要条件。而事实上，既然是好课的标准，那就一定是充分必要条件。

 

我对这个问题思考多年，始终不得答案。于是只能笼统概述。我认为一节好课的标准是：目标正确、方法得当、效果好。

 

    师生上一堂课就是在完成一项任务。我们在完成一项任务时，首先就必须明确这项任务的目标是什么，即通过教学让学生发生哪些变化。所以，衡量一堂课是否好课的标准首先是目标是否正确。在目标正确的情况下，才能谈方法是否得当，才能谈效果好不好。退一步讲，目标正确时，即使方法不当，也可以逐步提升。人们常说，尽管我们做的不好，但是我们做对了，就是强调目标的重要性；目标正确的时候，就要看达到目标的方法是否得当。比如是否突出学生的主体地位，教学流程是否科学，资源利用是否合理，启发是否到位，行动的开展是否有效，激励评价是否恰当等；第三是教学效果，即预期目标是否达到。如果效果不好，那就说明要么目标不正确，要么方法不得当。

 

有了以上讨论，我认为目标正确、方法得当是上好一节数学课的两个基本条件。

 

一、目标正确

 

上好课的第一个基本条件就是目标正确。

 

影响教学目标制定的因素有很多，比如，课程标准、教材、学生、教师、环境等，但是，最重要的还是课程标准和学生。

 

日常教学中目标不正确的表现主要有三方面：一是老师不看课程标准，凭自己的经验和兴趣确定目标；二是把课程标准的目标不加细化地当成一节课的目标；三是没有考虑学生因素；四是只关心知识与技能目标，不关心过程与方法、情感态度价值观目标。这四种倾向都要引起我们足够的重视，并在实践中加以克服。

 

（一）要根据课程标准确定目标。

 

    教学有三种境界：基于标准的教学、基于教材的教学、基于经验的教学。我们应该追求基于标准的教学。只有做到基于标准的教学，我们才可能能深刻地理解教材，体会教材在这里要达到什么目的；才会积极地去改造教材，看看怎样组织教材才能更好地达到这个目的。

 

例1：平方差公式。

 

老师确定的教学目标是：

 

（1）通过面积图得出平方差公式；

 

（2）体会数形结合的思想。

 

 显然，这是老师出于自己的偏好。对平方差公式，课程标准规定的教学目标是：“能推导乘法公式：(a+b)( a-b) = a ²- b ²，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算”。①这里对于公式的几何背景只是要求了解，而通过平方差公式的推导，让学生经历一个从具体到抽象，从特殊到一般的过程。这才是教学的真正意图。

 

（二）把课程标准的总目标分解成单元和每节课的目标。

 

课程标准中规定的目标是一个学段完成后的目标，在实际教学中，我们要把它分解为一个学期、一个单元、一节课的目标。

 

一般而言，制定目标时可以遵照下表进行分解：

层级\领域	知识与技能	过程与方法	情感态度价值观
学科领域
单元题材
课时阶段

 

例2：平方差公式（第一课时）。

 

老师确定的教学目标是：

 

“能推导乘法公式：(a+b)( a-b) = a ²- b ²，了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算”。而事实上，这是课程标准中的规定的总目标。具体到这一节课可以细化为：

 

     1.知识与技能目标：

 

    （1）掌握平方差公式及其结构特征；

 

    （2）理解公式中字母的广泛含义；

 

    （3）会运用此公式进行运算。

 

     2.过程与方法目标：

 

   （1）学生经历由具体到抽象、特殊到一般的过程，归纳出平方差公式，从中体会抽象、归纳的思想；

 

   （2）通过变式练习，理解公式中字母的含义，领会代数思想，提高观察、分析和总结能力；

 

    3.情感态度价值观目标：

 

    通过自主学习、合作探究、展示交流等环节，积累成功的心理体验。

 

    （三）制定目标时要考虑学生因素

 

制定课程标准时，已经考虑到了学生因素，分学段(初中7-9年级为第三学段)阐明了内容标准。但是由于我国地域辽阔，东西部差别很大，农村和城市差别很大，况且，标准只是一个最低的要求，所以在实际教学时还需要考虑我们面对的学生的具体情况。

 

例3：平行四边形的性质。

 

对于平行四边形，在小学的第二学段4-6年级，课程标准的要求是：“通过观察、操作，认识平行四边形，探索并掌握平行四边形的面积公式，并能解决简单的实际问题”；第二学段7-9年级，课程标准的要求是：“探索并证明平行四边形的性质定理：平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分”。②

 

在实际教学时发现，初中学生对探索平行四边形的性质并不感兴趣。觉得用刻度尺和量角器去度量对边是否相等、对角是否相等、对角线是否互相平分太小儿科。在这种情况下，我们就可以把“探索”改为“直觉”，而把重点放在性质的证明上。

 

    （四）不但重视知识与技能目标，更要重视过程与方法、情感态度价值观目标。

 

课题学习（属于综合与实践领域）是数学教学中的一块重要内容，然而却往往不被重视（甚至不讲）。为什么呢？是因为我们总是从知识与技能的角度审视它的教育价值。可是课题学习这类内容它的主要教学目标就不是知识技能的范畴，而是过程方法以及情感态度价值观。主要在于积累数学活动经验、培养学生应用意识和创新意识。也就是说，学生做了这类课题以后，它提出的方案很可能没有实用价值，或者问题没有得到解决。但这并不重要，重要的是学生在解决问题的过程中的体验。

 

义务教育数学课程标准（修改稿）对综合与实践领域的教学建议是：

 

1．结合实际情境，引导学生独立思考、合作研究，设计解决具体问题的方案，并加以实施，体验建立模型、解决问题的过程，并在此过程中，尝试发现和提出问题。

 

2．反思参与活动的全过程，将研究的过程和结果形成报告或小论文，交流成果，总结参与数学活动的收获，进一步积累数学活动经验。

 

3．通过对有关问题的探讨，了解所学过知识（包括其他学科知识）之间的关联，加深对有关知识的理解，发展应用意识和能力。

 

例4  包装盒中的数学。

 

（1）让学生分组收集一些商品的空包装纸盒，请大家分别计算出他们的体积和表面积。

 

（2）请学生将这些盒子拆开，看一看它们是怎样裁剪和粘接出来的。

 

（3）给一个矩形纸板（如A4纸大小），让学生根据上面的发现，裁剪、折叠出一个无盖长方体的盒子，并计算出它的体积。

 

（4）同组同学之间比较结果，分析谁的体积比较大？分析怎样能作一个体积更大（最大）的盒子？（只是实验、比较，不要求证明）。

 

（5）结合一种具体的待包装物体 (如5本书或2个茶杯) 设计一个包装盒，使这个盒子恰能包容它们，如有可能实际做出这个盒子。

 

[说明] 这是一个过程比较长的活动，可以引导学生体验一个比较完整的问题解决过程。让学生收集包装盒、拆开观察是一个很有益的过程，能很好地启发学生如何寻求解决后面问题的思路。问题（5）是一个实际应用，它的结果不唯一，可以交流展示学生的成果，请学生说明制作过程中的关键数据是如何得到的和裁剪方案是如何形成的。③

 

二、方法得当

 

上好一节课的第二个基本条件就是方法得当。

 

方法是什么？方法就是一个中介结构。

 

课堂教学就目的而言，就是掌握“真”而实现“善”。何为“真”？课堂教学有着自身的规律，包括教材、学生、教师、教学活动都如此，这就是真；何为“善”？通过教学活动培养人，这就是善。前者合规律，后者合目的。然而，合规律的不一定合目的，合目的的也不一定合规律。掌握“真”是技术，实现“善”是价值。掌握“真”而实现善，需要一个中介结构，这中介结构就是教学方法（我在有些场合称教学模式）。

 

    影响教学方法选择的主要因素有目标、内容、学生、教师、资源等。这里我主要选择目标来谈，即如何根据目标选择方法。

 

按照三维目标的表达方式，知识与技能属于较低级的目标，过程与方法属于较高级的目标，情感态度价值观属于更高级的目标。较低级的目标往往对应较低级的方法。对于较高级的目标对应较高级的方法。有时用较高级的方法去达成较低级的目标反而效果不好。

 

（一）知识技能目标的达成。

 

 1.注重学生对所学知识的理解，体会数学知识之间的关联。

 

数学教学的根本目的是学生的理解。数学概念有自身的特点，学生对数学概念的理解存在于他自己的头脑中，虽然可以通过一些外部的行为特征去诊断学生头脑中的理解，但学生对数学概念的内部理解无论在质量上还是在数量上都超过其外部的行为特征。学生的理解是按水平发展的，不同学生的理解有不同的水平，而适当的教学可以改进学生的理解水平。

 

一般认为，促进学生概念理解的途径有三条

 

（1）脚手架

（2）通过搭建脚手架降低任务的难度，使得在没有完成低层次任务的情况下也可以从事高层次的任务。

 

（3）变式练习

 

    通过直观或具体的变式引入概念；通过非标准变式突出概念的本质属性；通过非概念变式明确概念的外延。

 

（4）概念图

 

    概念图也叫思维导图，近年来被广泛应用于对知识间的相互联系的理解。

 

例5：锐角三角函数。

 

教师用书上对这一章的教学目标的阐述中有这样一句话：“通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想。”（人教社九年级下教学参考书第124页），可是在教学锐角三角函数时，往往就忘了这是学一种特殊的函数，从而也就忘记了与前面学过的一次函数、二次函数等进行联系。

 

为了突出这种联系，在教学三角函数时，就要从“平铺直叙”的教材中概括出函数所具有的三个特征：

 

(1)在某一变化过程中有两个变量∠A、比值；

 

(2)∠A变化时，比值也随着变化；

 

(3)对于∠A的某个确定的值，比值就有唯一确定的值与之对应。

 

    所以，我们就把比值叫做锐角∠A的函数。这样就把三角函数与过去学过的函数联系起来。也就加深了对函数概念的理解。

 

    2.要使学生掌握技能操作的程序和步骤，还要使学生理解程序和步骤的道理。

 

    在认知心理学中，技能一般被看作是按固定步骤进行，利用常规思路顺利完成某种任务的一种动作或心智活动方式。它是一种接近自动化的、复杂而较为完善的动作系统，是通过有目的、有计划的练习而形成的。技能的两个特征：一是熟练/精确，二是效率/速度，以此作为衡量技能水平的指标。

 

例6：用代入消元法解二元一次方程组。

 

代入法是解二元一次方程组的最基本的方法，是培养逻辑思维能力的重要途径。

 

代入法的产生源于学生用一元方程与二元方程组解同一问题时解法的对照过程。这两种方法一对照，学生就发现，在列出的一元方程中，有一个代数式，这个代数式正好表达的是另一个字母，于是就想到用等量代换，于是就有了代入法。所以代入法的依据是等量代换，而等量代换恰好是逻辑推理的重要基础。

 

          ∵  x+y=5  （大前提）

 

          又∵  y=4  (等量代换)（小前提）

 

          ∴  x=1  （结论）

 

（二）过程、方法目标的达成。

 

 1.引导学生积累数学活动经验、感悟数学思想。

 

 数学活动经验的获得，应当是个体在经历认知事物，分析问题、解决问题的活动过程中，逐渐提炼而成的。而且这种经验是极具个性化的。蕴含在其中的数学思想方法也只能靠学生的感悟才能获得，并不能通过单纯的告知而得到。而教师的重要作用在于精心地设计并引导学生经历这样一个过程。

 

例7：平方差公式。

 

例1中谈到，平方差公式这节课主要目的在于让学生体会具体到抽象、特殊到一般的过程。课本上是这样呈现的：

 

探究

 

计算下列多项式的积，你能发现什么规律？

 

（1）（x+1）(x-1)=______

 

（2）(m+2) (m-2)=______

 

（3）(2x+1)(2x-1)=______

 

    接着说，我们再来计算（a+b）(a-b)=_____，从而得出一般结论。

 

我们发现，教材上的三个例子，都是特殊的，没有前几节课学习过的一般的多项式乘法。这样不利于学生进行抽象和归纳。作为教材也许只能这样，但我们在使用教材时，必须加以改造。

 

在探究中，增加几个一般的多项式相乘的题，并且打乱顺序，让学生在运用多项式相乘的一般法则进行运算时能够发现，像(m+2) (m-2)=______这样的式子，不用靠分配律去展开运算，可以直接写出结果，从而得到一个猜想：

 

                 （a+b）(a-b)=a-b

 

然后再进一步证明这样的猜想是对的，从中感悟抽象与归纳的数学思想。

 

    2.精心创设情境，组织学生开展探索活动。

 

情境，《现代汉语词典》解释为：（具体场合的）情形、景象、境地。具体可感知性就是情境的特质。心理学认为，情境是对人有直接刺激作用，有一定的生物学意义和社会学意义的具体环境。因此，可以说情境是指引起人情感变化的具体的自然环境或具体的社会环境。

 

    学习更多地发生在学生思考一个具有挑战性的主题并从中获得结论的时候。人们期待学生学到的东西未必是学生愿意学的，尤其是一个大班级。但是如果学生对他们建构的情境感兴趣，愿意参与其中，那么他们愿意学习的可能性就会增加。因此，创造一种积极的、有感染力的气氛是绝对必须的。

 

例8：平行四边形的判定。

 

数学课上，要学习平行四边形的判定。

 

老师在黑板上画了一个平行四边形，然后擦掉一半，老师问，怎样把三角形补充成为平行四边形？如图：

 

 

这里教师创设了一个非常好的问题情境，学生在尝试把三角形补充成为平行四边形时就自然得出几种平行四边形的判定，这是一个归纳的过程。然后再一一加以证明，这又是一个演绎的过程，从而构成了一次完整的数学活动。

 

（三）情感、态度、价值观目标的达成。

 

义务教育数学课程标准指出：“在教育教学活动中，教师要不断提高自身的数学素养，善于挖掘教学内容的教育价值”。④

 

例9：概率与统计。

 

数学作为一门学科，具有学科所共有的三个特性：（1）构成学科的基本概念知识体系；（2）概念知识体系背后的思考方式；（3）思考方式背后的态度和价值观。⑤

 

在统计中我们学会用样本估计总体，在概率中，我们又用频率估计概率。如果我们把若干次试验当做一个样本，那么用频率估计概率本身也体现了样本估计总体的思想。但这都不是主要的，主要的是不管是用频率估计概率也好，还是用用样本估计总体也好，他们的实质都是偶然的现象中包含着必然的规律，这才是统计与概率的基本的核心的思想。

 

所以，如果说样本、频率、平均数、频数、中位数等这些构成的统计与概率的概念知识体系，那么这些概念知识体系背后的思考方式就是用样本估计总体，用频率估计概率。而这些思考方式背后的态度价值观就是认识到在偶然的现象中包含着必然的规律。这样的认识就上升到了哲学层面，是一个人一生工作、生活中的世界观和方法论。

 

本文中，笔者强调了目标的重要性。总的说来，“已有的研究得出的结论，基本上支持了目标导向适用于一般认知领域的学习，对较高级的认知领域，比如创新能力的培养，目标导向的作用还有待进一步的研究”⑥。

 

（本文发表于《教育理论与实践》2011年第九期）

 

主要参考文献:

 

①②③④资料来源：义务教育数学课程标准（修改稿）

 

⑤钟启泉《课堂互动研究：意蕴与课题》教育研究2010年第10期

 

⑥崔永漷《课堂教学的理论、策略与研究》华东师范大学出版社

 

⑦终结理论《形而上哲学、形而下科学、形而中数学的合流与人类未来》新浪博客