二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用，是近几年河北中考热点之一。学习二次函数，对于学生数形结合、函数方程等重要数学思想方法的培养，对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力具有十分重要意义。

 

二次函数主要考查表达式、顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、用二次函数模型解决生活实际问题。其中顶点坐标、开囗方向、对称轴、最大（小）值、图象与坐标轴的交点等主要以填空题、选择题出现。利用二次函数解决生活实际问题以及二次函数与几何知识结合的综合题以解答题形式出现：一类是二次图象及性质的纯数学问题，如2010年河北中考11题，2009河北中考22题，2007河北中考22题；一类是利用二次函数性质结合其它知识解决实际问题的题目，如2010年河北中考26题，2008河北中考25题，2006河北中考24题。

 

考点1：二次函数的有关概念

 

一般的，形如y=ax?+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数。

例　m取哪些值时，函数是以x为自变量的二次函数？

 

（1）抛物线的形状

 

二次函数y=ax?+bx+c（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

 

（2）抛物线的平移

 

二次函数y=ax?向右平移h个单位，向上平移k个单位后得到新的二次函数y=a(x-h)2+k,进一步化简计算得到二次函数y=ax?+bx+c。新函数与原来函数形状相同，只是位置不同。

 

（3）抛物线与坐标轴的交点

 

抛物线与x轴相交时y＝0，抛物线与y轴相交时x＝0。

 

（4）抛物线y=ax²+bx+C中a、b、c的作用

 

a决定当开囗方向，a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

 

a和b共同决定对称轴。

 

C决定与y轴交点。

 

（5）抛物线顶点坐标、对称轴、最大（小）值

 

顶点式：y=a(x-h)²+k顶点坐标（h，k），对称轴x=h, 最大（小）值k。

 

一般式：y=ax?+bx+c顶点坐标，对称轴，最大（小）值为。

 

例1.(2008河北中考9题)如图4，正方形的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形的顶点上，且它们的各边与正方形各边平行或垂直．若小正方形的边长为，且，阴影部分的面积为，则能反映与之间函数关系的大致图象是（    ）

 

 

例2.（2009河北中考9题）某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数（x＞0），若该车某次的刹车距离为5 m，则开始刹车时的速度为（    ）

 

A．40 m/s                       B．20 m/s

 

C．10 m/s                       D．5 m/s

 

例3.（2010河北中考11题）如图5，已知抛物线的对称轴为，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0，3），则点B的坐标为

 

 

A．（2，3）         B．（3，2）   

 

C．（3，3）    　　D．（4，3）

 

例4.（2011河北中考8题）一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式h=-5(t-1)²+6,则小球距离地面的最大高度是（　　　　）

 

A. 1米   B. 5米  C .6米   D .7米

 

例5.（2009河北中考22题）已知抛物线经过点和点P （t，0），且t ≠ 0．

 

 

（1）若该抛物线的对称轴经过点A，如图12，请通过观察图象，指出此时y的最小值，并写出t的值；

 

（2）若，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向；

 

（3）直接写出使该抛物线开口向下的t的一个值．

 

例6.（2011河北中考26题）如图15，在平面直角坐标系中，点P从原点O出发，沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动t秒（t>0），抛物线y=x²+bx+c经过点O和点P，已知矩形ABCD的三个顶点为A(1,0),B(1,-5),D(4,0)

 

 

（1）求c，b（用含t的代数式表示）

 

（2）当4<t<5时，设抛物线分别与线段AB,CD交于点M，N

 

①在点P的运动过程中，你认为∠AMP的大小是否会变 化？若变化，说明理由；若不变，求出∠AMP的值

 

②求△MPN的面积S与t的函数关系式，并求t为何值时，S=

 

（3）在矩形ABCD的内部（不含边界），把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”，若抛物线将这些“好点”分成数量相等的两部分，请直接写出t的取值范围。

 

考点2：二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系

 

例1.如图，以 40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h＝20t-5t²。

 

考虑以下问题

 

（1）球的飞行高度能否达到 15m？如能，需要多少飞行时间？

 

（2）球的飞行高度能否达到 20m？如能，需要多少飞行时间？

 

（3）球的飞行高度能否达到 20.5m？为什么？

 

（4）球从飞出到落地要用多少时间？

 

 

例2.某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面竖一根柱子，上面的A处安装一个喷头向外喷水.连喷头在内，柱高为0.8m.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，如图(1)所示.

 

   　　

 

根据设计图纸已知：如图(2)中所示直角坐标系中，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式是y＝－x²＋2x＋.

 

(1)喷出的水流距水平面的最大高度是多少?

 

(2)如果不计其他的因素，那么水池至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内?

 

考点3：求二次函数的解析式

 

例1.（2007河北中考22题）如图13，已知二次函数的

 

图像经过点A和点B．

 

（1）求该二次函数的表达式；

 

（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

 

（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．

 

 

考点4：二次函数的图象、性质在生活中的应用

 

例1.（2006河北中考24题）利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7. 5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．

 

（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；

 

（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；

 

（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？

 

（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大．”你认为对吗？请说明理由．

 

例2.(2008河北中考25题)研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为（吨）时，所需的全部费用（万元）与满足关系式，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）

 

（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；

 

（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；

 

（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？

 

参考公式：抛物线的顶点坐标是．

 

例3.(2010河北中考26题)某公司销售一种新型节能产品，现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售．

 

若只在国内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y =x＋150，成本为20元/件，无论销售多少，每月还需支出广告费62500元，设月利润为w_内（元）（利润 = 销售额－成本－广告费）．

 

若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响，成本为a元/件（a为常数，10≤a≤40），当月销量为x（件）时，每月还需缴纳x² 元的附加费，设月利润为w_外（元）（利润 = 销售额－成本－附加费）．

 

（1）当x = 1000时，y =         元/件，w_内 =         元；

 

（2）分别求出w_内，w_外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

 

（3）当x为何值时，在国内销售的月利润最大？若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值；

 

（4）如果某月要将5000件产品全部销售完，请你通过分析帮公司决策，选择在国内还是在国外销售才能使所获月利润较大？

 

参考公式：抛物线的顶点坐标是．