摘　要：“17.1.2反比例函数的图象和性质”是在学生已学完一次函数，并初步认识、感知反比例函数概念之后，对反比例函数的图象和性质的进一步掌握．基于从函数的角度使学生深刻体会数学与实际生活的联系，感受数学的奇妙，从而加深学生对函数本质意义和研究方法的认识，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值的理念．本教学设计，通过引导学生类比一次函数，自主发现反比例函数的图象和性质，并借助多媒体加以验证，在教学过程中通过自主探究、小组研讨、学生设计问题等环节充分激发学生的学习兴趣．

 

关键词：类比；数形结合；自主探究；自主设计问题

 

一、内容和内容解析

 

内容

 

人教版课标教材八年级下册“17.1.2反比例函数的图象和性质”。

 

内容解析

 

函数是刻画变量之间关系的数学模型，本节课是学生已学完一次函数，并初步认识、感知反比例函数概念之后，对反比例函数的图象和性质的进一步掌握．教学中，应从函数的角度使学生深刻体会数学与实际生活的联系，感受数学的奇妙，从而加深学生对函数本质意义和研究方法的认识，在探索过程中不断体验数形结合的思想，了解数学模型的应用价值．

 

教学重点

 

对反比例函数性质的探究和掌握．

 

二、目标和目标解析

 

目标

 

能描点画出反比例函数的图象；能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数（为常数，≠0）的函数关系和性质，能利用这些函数性质分析并解决一些简单的实际问题．

 

目标解析

 

（1）能描点画出反比例函数的图象。

 

（2）能根据图象数形结合,引导学生发现反比例函数的性质，培养观察、归纳、概括的能力。

 

（3）能利用反比例函数性质分析并解决一些基本问题，抓住函数的变化规律是由决定这一性质。

 

（4）使学生在学习一次函数的性质之后，进一步理解常量与变量的辩证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，进一步学会数形结合的思想方法。
　　

（5）在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，使学生在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟．
　　

三、教学问题诊断分析

 

学生已经学习了一次函数，基本熟练掌握了一次函数的概念、图象、性质与应用，同时前一课也初步认识、感知了反比例函数的概念．但是反比例函数自身的特殊性以及学生学习一次函数所产生的“惯性”，会导致学生在画图、探究反比例函数的性质等方面出现负迁移等问题．

 

学生在描点作反比例函数的图象时，可能会出现以下问题：

 

（1）取点时，都取正值，导致只画出一支曲线；

 

（2）由于所取的点较少，导致图象失真；

 

（3）连线时习惯用线段，导致出现“硬转弯”的折线图；

 

（4）习惯性的过原点或与两坐标轴相交；

……

基于以上可能出现的问题，教学时将采取正面引领（展示学生所画的正确图象，回顾作图步骤），反面剖析（展示学生所画的错误图象，分析错误原因），实践操作（学生再画函数图象时，不仅能正确作出函数的图象，而且能在作图中体验、探索函数的性质）3个步骤加以解决．

 

在学生探究反比例函数性质时，对于函数的增减性会出现不加“在每个象限内”这个限定条件的错误．教学时将采取举例说明的方法，让学生自主发现问题、解决问题，从而加深对反比例函数增减性的体验和理解．

 

四、教学支持条件分析

 

为了高效实现教学目标，可以借助计算机进行辅助教学．在学生观察图象、探究反比例函数的性质时，可以借助《几何画板》将较多反比例函数图象呈现给学生，既节约时间，又有利于学生进行观察、总结．在“设计问题”环节的教学，如有学生提出与面积有关的问题，可以通过《几何画板》演示点在不同反比例函数图象上的移动，引导学生发现代数与几何之间的内在联系和统一，将课堂延伸到课后，并为下一课的教学做好铺垫．

 

五、教学过程设计

 

问题1：上一节课我们已经学习了反比例函数的定义，那么什么叫做反比例函数？

（形如（）的函数叫做反比例函数．）

（教师板书：反比例函数（）。）

 

今天我们就来探究反比例函数的图象和它的性质．

 

【设计意图】通过类比正比例函数的学习，提出本节课所要研究的问题及其研究方法，并引导学生的研究思路．

 

问题2：请大家尝试着画一画反比例函数的图象．

（教师展示学生作品，并让学生交流作图步骤和注意点．）

 

【设计意图】学习正确的作图过程，在填表过程中感受随变化的规律，为基于图象探究函数性质打下基础．

 

问题3：（教师首先展示学生所画正确的函数图象）很好！这名同学画出来的函数图象非常优美．下面要展示的几幅图同样是来自同学的作品，能不能反思一下它们的问题在哪里？这样我们下次就能画出更美的曲线（展示几幅学生所画有错误的函数图象）．

 

【设计意图】重视反例教学，充分开发和利用“错误”资源，感受反比例函数的性质．

 

问题4：很好！下面请大家按照正确的步骤和方法再画一下函数的图象．

（1）列表（如表1）。

表1

	…	-6	-5	-4	-3	-2	-1	1	2	3	4	5	6	…

（2）描点。

（3）连线．

 (教师展示学生所画图象。)

 

【设计意图】加深学生对作反比例函数图象的认识，达到“能描点画出反比例函数的图象”的教学目标；并在列表、画图过程中进一步感知反比例函数的性质，如通过列表发现决定了图象所在的象限等．

 

问题5：观察反比例函数的图象是两条曲线．

（给出函数图象名称：双曲线．）

 

教师借助于计算机，画出了更多反比例函数的图象，仔细观察，类比正比例函数的性质，引导学生总结反比例函数的性质．

（开展小组协作、讨论。）

 

（教师板书：当k>0,在每个象限内，随的增大而减小; 当k<0,在每个象限内,随的增大而增大.）

 

【设计意图】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力．

 

问题6：总结（如表2）。

表2

名称	解析式	图象	图象分布		函数变化情况
反比例函数

 

师：对于反比例函数，我们一定要注意这三者之间的关系：图象，的正负，函数的增减性．可以说，只要知道其中一个，就可以知道另外两个．

 

【设计意图】通过与正比例函数的比较，加深学生对反比例函数的性质的理解，尤其是要理解决定了函数的变化规律，提高学生的归纳总结能力．

 

问题7：一个直角三角形的两直角边长分别为，其面积为2，则与之间的关系用图象表示大致为（    ）。

 

【设计意图】从实际问题抽象建模成反比例函数，同时引导学生注意实际问题中自变量的取值范围．

 

问题8：你能补全这道选择题吗？

 

以下各图表示正比例函数与反比例函数（）的图象，其中正确的是（    ）。

 

【设计意图】从图中识别不同的函数，及时巩固概念；引导学生观察图形，从分类角度认识与函数图象的关系．

 

问题9：下列反比例函数图象的一个分支，在第三象限的是（      ）。

（A）     （B）

（C）    （D）

 

【设计意图】帮助学生辨析一个常见错误（少数学生会误认为是函数解析式中的大于0或小于0）．

 

问题10：若点（-2，y₁），（-1，y₂），（2，y₃）在反比例函数的图象上，则（     ）。

（A） y₁ > y₂ > y₃    （B） y₂ > y₁ > y₃（C） y₃ > y₁ > y₂    （D） y₃ > y₂ > y₁

 

【设计意图】加深学生对反比例函数增减性的理解，培养学生结合图象研究函数的习惯．

 

问题11：如图1，A、B是双曲线的一个分支上的两点，且点在点的右侧，则的取值范围是          ．

　　　　　　　　　　　　　

　　　图1 

【设计意图】加深对反比例函数增减性和“在每个象限内”的理解，培养学生结合图象研究函数的习惯．

 

问题12：已知反比例函数，你能运用今天所学的知识，设计一个关于的问题么？

 

例如，函数图象位于第二、四象限，求的取值范围．

 

解：因为双曲线在第二、四象限，所以。所以。

 

【设计意图】让学生基于本节课所学的知识设计问题，对学生提出了更高的要求，使学生获取知识和技能的同时，激发学习数学的兴趣，并使智力得到发展，能力得到培养．

 

问题13：学生总结．

作业：教材P46页习题17.1 3第8题、第9题．

 

【设计意图】让学生通过自我总结，更加系统、全面地认识本节课的知识，并把学过的相关知识有机地串联起来，便于记忆和应用，也进一步升华了这节课所要表达的本质思想。

 

六、目标检测设计

 

1.选择题

 

（1）反比例函数的图象位于（    ）。

（A）第一、二象限   （B）第一、三象限     （C）第二、三象限     （D）第二、四象限

 

（2）已知函数的图象经过点（2，3），下列说法正确的是（    ）。

（A）y随x的增大而增大              （B）函数的图象只在第一象限

（C）当x＜0时，必有y＜0            （D）点（－2，－3）不在此函数图象上

 

（3）若反比例函数的图象在其每个象限内,y随x的增大而减小,则k的值可以是（　　）。

（A）-1                     （B）3                 （C）0                 （D）-3

 

（4）矩形面积为4，它的长与宽之间的函数关系用图象大致可表示为（    ）。

 

（5）已知，则函数和的图象大致是（　　）。

 

（6）函数的图象上有两点，，若0<，则（    ）。

（A）      （B）      （C）     （D）、的大小不确定

 

2.填空题

 

（7）已知下列反比例函数：

①；    ②；    ③；  ④；   ⑤。

图象两支分别在第一、三象限内的函数是___________；

在其图象所在的每个象限内，y随x的增大而增大的函数有___________。

 

（8）函数，当x>0时，图象在第____象限， y随x 的增大而_________。

 

（9）已知2，4，m是三角形的三边长，那么双曲线的两支在第_____象限内。

 

（10）双曲线的两个分支分别位于第        象限．

　　

3.解答题

 

（11）反比例函数的图象如图2所示，，是该图象上的两点．

①比较与的大小；

②求的取值范围．

 

 

 

 

 

 

 

 

 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2

（12）已知一次函数与反比例函数的图象交于点．

①求这两个函数的函数关系式。

②在给定的直角坐标系（如图3）中，画出这两个函数的大致图象。

③当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？当为何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？

 

答案：（1）D；（2）C；（3）B；（4）B；（5）D；（6）A；（7） ①③⑤，②④；（8）一，减小；（9）一、三；（10）二、四；（11） >，；（12），，当时，一次函数的值大于反比例函数的值，当时，一次函数的值小于反比例函数的值.

 

【设计意图】检测题采取多种形式呈现，增加了灵活性，基本题为主，也有少量综合问题，可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验．

 

注：

江苏省南通市课题组成员：袁亚良，王兴富，李明生，蔡新春，陆志强，马公仕，许磊，葛媛，徐向清，徐强，陶慧，陈天龙。

教学设计中的“问题8”选项D缺图——D选项是由学生设计的问题，所以应该空着，不需要修改

 

本文发表于《中国数学教育》初中版2011年第1、2期